PROBLEMAS

1. Una compañía ha determinado mediante el análisis del departamento de producción que la demanda de un artículo es de 38,000 unidades, el costo del almacenamiento por unidad es de $2.50 por año y el costo de ordenar una compra es de $500. No se permite el déficit y la tasa de reemplazo es instantánea, el costo por unidad es de $5.00 determine

a) La cantidad económica del pedido
b) El numero de pedidos por año
c) El numero entre pedidos
d) El costo total del inventario

a) Q*= 122DS/H'>

Q*= 12235,0005002.50='> 3741.35


b) N= 12PQ*'>

N= 35,000/3741.65 = 9.3541

c) T= 12Nº DiasN'>

T= 122259.3541'> = 42.05


d) CT= 12DQ5+ Q2 H'>

CT= 122.50 35,000+ 500 35,0003741.65+ 0.20 2.503741.622'>
CT= 87500 + 4677.08 + 933.41 = 93110.49

2. Una tienda departamental hace un pedido por semana para proveerse de los repartos regulares de un producto que parece tener una demanda uniforme de 10,000 unidades mensuales. Esta tienda departamental estima que el % y el costo de ordenar es de $2.00, los costos de la tienda son de $0.80 por articulo.

Determine:
a) La cantidad económica de pedido
b) El numero de pedidos por año
c) El tiempo entre pedidos
d) El costo total del inventario

Datos:

D = 10000 U
G = 20%
S = $ 2.00
H = $ 0.80

a)

Q = Q= Q = 223.60

b)
N = 12PQ*'> = 10000/223.60 = 44.72 CADA 44 DIAS

c)
t= = = 5.11 dias

d)

CT = CD + SD + ICQ* =
Q* 2

CT= +

CT= 178.89+89.44

CT= $268.33


3. Un comerciante usa aproximadamente 400 unidades de un cierto producto por mes y paga a un intermediario $90.00 por ordenar, para localizar a un proveedor que maneje la orden y se encargue de la entrega. Sus costos anuales de almacén y manejo son calculados en 30%, cada producto cuesta $3.00. Si la demanda se mantiene constante, se permite el déficit y el reemplazo es instantáneo.

Determine:

a) la cantidad eco mica de pedido y el numero de pedidos al año
b) b) el costo total mínimo

a) EOQ

Q* = 122DS/H'>

Q* = 2(400) (90) = 72000 = 80,000 = 282.84
(.30) (3) 0.9

No. De pedidos.

N = 12PQ*'> = 400/ 282.84 = 1.414 días

b) Costo total

CT = CD + SD + ICQ* =
Q* 2

CT = (3) (400) + (90) (400) + (.30) (3) (1.414) =
1.414 2

CT = 1200 + 25,459.68 + 0.6363

CT = $ 26,660.31


4. En una empresa un contador lleva a cabo el cierre anual, teniendo la siguiente información para el producto que maneja: Se realizaron pedidos de 1570 unidades cada u , el pedido tuvo un costo de $35.22, el almacén de cada unidad-año fue de $0.50. Si el inventario permite déficit y el reemplazo es instantáneo.

Determine:

a) La cantidad eco mica de pedido.
b) El numero de pedidos por año.
c) ¿Cual fue el costo total mínimo del inventario, si el producto tiene un valor de $4.20?


a) EOQ

Q* = 122DS/H'>

Q* = 2 (1570) (35.22) = 110590.8 = 5266.2.28571
(0.50) (4.20) 2.1

Q* = 229.4826

b) No. de pedidos

N = 12PQ*'> = 1570/ 229.4826 = 6.48414


5. Usted como contador de presupuestos ha determinado que para el presupuesto del año de 1998, las ventas de un articulo es de 15000 unidades mensuales y que el del año de 1997 se tuvo un inventario final de 1800 unidades y espera tener un inventario final deseable de 2000 unidades. El costo de conservación por unidad es de $2.50 por año y el costo por ordenar un pedido es de $8500.

Determine:
a) el numero de pedidos por año
b) el tiempo entre pedidos
c) ¿Cual es el costo total en existencia si el costo por unidad es de $25.00?
d) si el tiempo de entrega es de 5 días ¿cual es el punto de reorden?


D = 15,000
S = $8500
H = $2.50

a) EOQ

Q* = 122DS/H'>

Q* = 2 (15000) (850) = 25500000 = 10200000 = 10,099.50
2.50 2.5

N = 12PQ*'> = 15000/10099.5 = 1.48 días

b) t = 225 = 158
1.48

c) CT = CD + SD + ICQ* =
Q* 2

CT = (25) (15000) + (8500) (15000) + (2.5) (25) (10,099.5) =
10,099.5 2

CT = 375,000+ 12,624.38 + 315609.37
CT = $ 703233,755

MODELO DE INVENTARIOS

MODELO DE INVENTARIOS

1¿Qué son los modelos matemáticos?

Un modelo matemático se define como una descripción desde el punto de vista de las matemáticas de un hecho o fenómeno del mundo real, desde el tamaño de la población, hasta fenómenos físicos como la velocidad, aceleración o densidad. El objetivo del modelo matemático es entender ampliamente el fenómeno y tal vez predecir su comportamiento en el futuro.

2¿Cuál es la clasificación de un inventario, según su función?

a) Predictivos: Este tipo de modelos nos informan del comportamiento de la variable en un futuro, es decir, lo que debería ser. A este tipo de modelos corresponden aquellos basados en técnicas estadísticas y/o econométricas, es decir, modelos de previsión. b) Evaluativos: Una técnica evaluativa corresponde a medir las diferentes alternativas, y así poder comparar los resultados de ellas. Este tipo de modelos se corresponden con los denominados arboles de decisión. c) Modelos de optimización: Se trata de modelos que tratan de identificar un optimo (por lo general, el optimo global) del problema, es decir, buscan la mejor de las alternativas posibles. Estos métodos son los que están basados en las técnicas de programación matemática. d) Modelos deterministas versus modelos estocásticos:En los modelos deterministas todos los datos del problema se conocen con absoluta certeza, mientras que cuando esto no es así tenemos los modelos estocásticos. Por lo general los modelos más realistas son los modelos estocásticos, pero tienen la dificultad de poderlos resolver adecuadamente, y muchas de las técnicas aplicables a los modelos estocásticos tratan de reducir el problema a su versión determinista para poderlo resolver. e) Modelos estáticos versus modelos dinámicos:En un modelo estático la variable tiempo no desempeña un papel relevante, mientras que en los modelos dinámicos la variable fundamental, y de la que dependen las restante variables relevantes. Además, la variable tiempo se considera como una variable continua. Una vez establecida una serie de clasificaciones de los modelos, es conveniente plantear una medida de su solución, ya que el objetivo de plantear el modelo es el poderlo resolver y extraer de la solución los resultados necesarios para la toma de decisiones.

El nivel de resolubilidad de los problemas es función de tres características fundamentales: a) El tamaño del problema: El numero de variables y ecuaciones que contiene. Cuanto mayor sea este número, más difícil de resolver es.b) La clase del problema: Lineal, Entero y No lineal, y además por ese orden, es decir, los problemas lineales son "fácilmente" resolubles, mientras que los no lineales son "intrínsecamente" difíciles de resolver.c) El tipo de instancias utilizadas: Ciertas o deterministas, con riesgo (conocemos las probabilidades de ocurrencia),con incertidumbre.

3¿Cuáles son las fases de modelización y sus reglas?

FASES DEL PROCESO DE MODELIZACIÓN 1.- Fase de Conceptualización. Llegar a tener un profundo conocimiento de la realidad que se trata de modelar, es decir, ser capaces de representar conceptualmente el problema sin ningún tipo de contradicciones lógicas ni de errores de análisis.2.- Fase de Formalización. Establecer de forma clara y correcta (desde el punto de vista matemático) las relaciones entre los elementos, de tal forma que, además, sea fácilmente entendible y que puedan detectar rápidamente los errores. El éxito de esta fase depende, obviamente, de que se haya establecido correctamente la fase anterior.3.- Fase de Evaluación. En esta fase, además de establecer la forma en la que debe ser el procedimiento de resolución a emplear, será posible interpretarlo correctamente. Para la aplicación práctica para modelar un problema de optimización podemos seguir las REGLAS BÁSICAS DE MODELIZACIÓNVamos a enumerar algunas de las situaciones y condiciones que deben tenerse en cuanta a la hora de construir modelos enteros y modelos no lineales

1.- Formular, primero, un modelo sencillo e ir agregándole características en consonancia con la dirección de optimización deseada.Un modelo a optimizar debe ser desarrollado buscando un equilibrio razonable entre la seguridad en el modelo (lo que usualmente implica añadir complejidad a la formulación) y la facilidad de optimización. Esto puede conseguirse utilizando un procedimiento de optimización sobre versiones cada vez más complejas del modelo, es decir, en forma de un refinamiento 'paso a paso'.

2.- Evitar definir en un modelo funciones que sean el resultado de algún procedimiento iterativo (como la solución de una ecuación diferencial o la resolución de una integral).Las funciones del modelo definidas por un procedimiento iterativo son, a menudo, una fuente de discontinuidades que pueden impedir el avance de los procesos de optimización.

3.- Tomar con precaución la naturaleza de las restriccionesEs importante analizar la naturaleza de las restricciones que intervienen en el problema para mejorar la eficacia de los métodos de optimización que debemos usar. A la hora de construir un modelo debemos separar las restricciones lineales, no lineales y de acotación, no solo para poder analizar mejor el modelo, sino también para servirnos de orientación acerca del software que debemos usar en cada caso concreto.

4.- No evitar las restricciones de igualdad. En este caso, no se trata tanto de convertir las restricciones lineales de igualdad en dos restricciones de desigualdad con signos opuestos, sino que se trata más bien de poner de manifiesto una práctica que también era habitual antaño.El procedimiento era el siguiente: las variables se dividían en dos conjuntos, las variables "independientes" y las variables "dependientes", de tal modo que la optimización se realizaba únicamente con las variables independientes y las variables dependientes se determinaban al "resolver" las restricciones de igualdad, es decir encontrando la solución a ese sistema de ecuaciones no lineales formado por las variables dependientes una vez hallados los valores de las otras variables.

5.- Distinguir entre las restricciones "hard" y "soft".Se denota, por lo general, restricciones "hard" a aquellas restricciones que no es posible violarlas, mientras que por restricciones "soft" se denotan aquellas restricciones en las que está permitido que puedan violarse, si con ello se consigue una mejora sustancial, tanto en el modelo como en el procedimiento de optimización. En general, las restricciones "soft" suponen un coste por la violación, por tanto, se trata de evaluar el coste de esa violación en términos de mejora de la función, y por ello, también se introducen variables de desviación para poder evaluar este impacto.

6.- Evitar crear modelos que tengan restricciones de igualdad similares, es decir, que sean casi dependientes. El plantear modelos con restricciones que sean muy similares puede provocar que al introducir pequeñas variaciones en los datos del modelo se produzca una distorsión muy grande en los resultados esperados del modelo.

7.- Usar toda la información disponible sobre el problema para el escalamiento de las variables y las restricciones. La escala de un problema es la medida de la importancia de las variables y las restricciones, es decir, es una magnitud que nos informa de que es "grande" o "pequeño" en el modelo, es decir, de lo importante o no que puede resultar una variable o una restricción en el conjunto del modelo.

8.- Verificar cuidadosamente todos los datos introducidos en el problema.La introducción de datos es la fuente de la mayoría de los errores que se producen en la resolución de los problemas, por ello habrá que revisar varias veces, y a ser posibles por persona distinta, todos los datos introducidos en el problema, ya que se trata de los errores de más difícil detección y con ello la generación de soluciones no adecuadas al fin perseguido es muy común.

4¿Cuáles son los pasos del método científico I.O.?
Los pasos del método son los siguientes:
1. Delimitación del problema
2. Modelación del problema
3. Resolución del modelo
4. Verificación con la realidad
5. Implantación
6. Conclusiones

5¿Qué se entiende por sistema de control de inventarios?

El Sistema de Control de Inventario es una solución de automatización que permite tener un conocimiento efectivo del inventario de la empresa. Además
contempla la automatización de la operación del inventario, el sistema de compras, y las solicitudes y despachos de pedidos internos. Es ideal para corporaciones “multi-empresa”.
El sistema de compras está preparado para solicitar cotizaciones, comparar los precios ofertados y emitir órdenes de compra, con niveles de autorización.
El sistema de pedidos interno permite automatizar el flujo de aprobación de las solicitudes internas de material.
Interactúa de manera transparente con la contabilidad del sistema de Finanzas.

6¿Cuáles son los parámetros o conceptos económicos usados en el control de inventarios?

Los negocios multiplican la cantidad de artículos de los inventarios por sus costos unitarios para determinar el costo de los inventarios. Los métodos de costeo de inventarios son: costo unitario específico, costo promedio ponderado, costo de primeras entradas primeras salidas (PEPS), y costo de últimas entradas primeras salidas (UEPS).
Costo Unitario Específico: Algunas empresas tratan con artículos de inventario que pueden identificarse de manera individual, como los automóviles, joyas y bienes raíces. Estas empresas costean, por lo general, sus inventarios al costo unitario específico de la unidad en particular.
Costo Promedio Ponderado: El método del costo promedio ponderado, llamado a menudo método del costo promedio se basa en el costo promedio ponderado del inventario durante el período. Este método pondera el costo por unidad como el costo unitario promedio durante un periodo, esto es, si el costo de la unidad baja o sube durante el periodo, se utiliza el promedio de estos costos.
El costo promedio se determina de la manera siguiente: divida el costo de las mercancías disponibles para la venta (inventario inicial + compras) entre el número de unidades disponibles.
Costo de Primeras Entradas, Primeras Salidas (PEPS):
Bajo el método de primeras entradas, primeras salidas, la compañía debe llevar un registro del costo de cada unidad comprada del inventario. El costo de la unidad utilizado para calcular el inventario final, puede ser diferente de los costos unitarios utilizados para calcular el costo de las mercancías vendidas.
Costo de Últimas Entradas, Primeras Salidas (UEPS):
El método últimas entradas, primeras salidas dependen también de los costos por compras de un inventario en particular. Bajo este método, los últimos costos que entran al inventario son los primeros costos que salen al costo de mercancías vendidas. Este método deja los costos más antiguos (aquellos del inventario inicial y las compras primeras del periodo) en el inventario final.

7¿Qué se entiende por tamaño económico ( EOQ Economic Order Quantity) cantidad mínima ordenada y formulas?
Esta técnica es relativamente fácil de usar pero hace una gran cantidad de suposiciones. Las más importantes son:
Ø La demanda es conocida y constante
Ø El tiempo de entrega, esto es, el tiempo entre la colocación de la orden y la recepción del pedido, se conoce y es constante.
Ø La recepción del inventario es intentar en otras palabras, el inventario de una orden llega en un lote el mismo momento.
Ø Los descuentos por cantidad no son posibles.
Ø Los únicos costos variables son el costo de preparación o de colocación de una orden (costos de preparación) y el costo del manejo o almacenamiento del inventario a través del tiempo (costo de manejo).
Ø Las faltas de inventario (faltantes) se pueden evitar en forma completa, si las órdenes se colocan en el momento adecuado.

Su fórmula es :

CTS = [1/2 Q*V*C] + [P*(D/Q)]

Donde: Q/2 = Número promedio de unidades durante el ciclo de pedido.
V = Costo promedio de una unidad de stock.
C = Costos de almacenamiento (% del valor del producto).
P = Costo de colocar un pedido.
D = Demanda anual.

, haciendo esta expresión = 0, entonces


8¿Qué se entiende por inventario cíclico?

El inventario cíclico es un método de inventario en el que el inventario se cuenta a intervalos regulares durante el ejercicio. Dichos intervalos (o ciclos) dependen del indicador de inventario cíclico establecido en los materiales.
El inventario cíclico permite contar con más frecuencia los artículos de alta rotación que los artículos obsoletos
En el registro maestro de materiales (datos de almacén), se marcan todos los materiales que deben incluirse en el inventario cíclico, mediante un indicador de inventario cíclico. El indicador de inventario cíclico se utiliza para agrupar los materiales en diversas categorías de inventario cíclico (por ejemplo, A,B,C y D). En cada categoría se definen los intervalos de tiempo del recuento de materiales.
Se pueden marcar los materiales del siguiente modo:
Manualmente en el registro maestro de materiales (datos de almacén)
Automáticamente con el análisis ABC

EL DIAGRAMA DE GANTT

El DIAGRAMA DE GANTT

Es una popular herramienta gráfica cuyo objetivo es el de mostrar el tiempo de dedicación previsto para diferentes tareas o actividades a lo largo de un tiempo total determinado. A pesar de que, en principio, el diagrama de Gantt no indica las relaciones existentes entre actividades, la posición de cada tarea a lo largo del tiempo hace que se puedan identificar dichas relaciones e interdependencias.

El diagrama de Gantt es un diagramas de barras desarrollado durante la I Guerra Mundial. En él se muestran las fechas de comienzo y finalización de las actividades y las duraciones estimadas, como se dijo anteriormente, pero no aparecen dependencias.El gráfico de Gantt es la forma habitual de presentar el plan de ejecución de un proyecto, recogiendo en las filas la relación de actividades a realizar y en las columnas la escala de tiempos que estamos manejando, mientras la duración y situación en el tiempo de cada actividad se representa mediante una línea dibujada en el lugar correspondiente.

La utilidad de un gráfico de este tipo es mayor cuando se añaden los recursos y su grado de disponibilidad en los momentos oportunos. Como ventajas tendríamos la facilidad de construcción y comprensión, y el mantenimiento de la información global del proyecto. Y como desventajas, que no muestra relaciones entre tareas ni la dependencia que existe entre ellas, y que el concepto de % de realización es un concepto subjetivo.

RUTA CRITICA

RUTA CRÍTICA

Es el trayecto del tiempo mas largo que ela cruza o sea 0-1-3-6-7, observese que para cada uno delos eventos la ruta critica, su tiempo más próximo es tE es igual a su tiempo mas tardío TL. Esto es que el tiempo as tardío es igual al tiempo más próximo en el que se espera que se termine.

El método de la ruta crítica fue inventado por la corporación DuPont y es comúnmente abreviado como CPM por las siglas en inglés de Critical Path Method. En gestión de proyectos, una ruta crítica es la secuencia de los elementos terminales de la red de proyectos con la mayor duración entre ellos, determinando el tiempo más corto para completar el proyecto. La duración de la ruta crítica determina la duración del proyecto entero. Cualquier retraso en un elemento de la ruta crítica afecta la fecha de término planeada del proyecto, y se dice que no hay holgura en la ruta crítica.

Un proyecto puede tener varias rutas críticas paralelas. Una ruta paralela adicional a través de la red con las duraciones totales menos cortas que la ruta crítica es llamada una sub-ruta crítica.
Originalmente, el método de la ruta crítica consideró solamente dependencias entre los elementos terminales. Un concepto relacionado es la cadena crítica, la cual agrega dependencias de recursos. Cada recurso depende del manejador en el momento donde la ruta crítica se presente.

A diferencia de la técnica de revisión y evaluación de programas (PERT), el método de la ruta crítica usa tiempos ciertos (reales o determinísticos). Sin embargo, la elaboración de un proyecto en base a redes CPM y PERT son similares y consisten en:
Identificar todas las actividades que involucra el proyecto, lo que significa, determinar relaciones de precedencia, tiempos técnicos para cada una de las actividades.
Construir una red con base en nodos y actividades (o arcos, según el método más usado), que implican el proyecto.

Analizar los cálculos específicos, identificando las rutas críticas y las holguras de los proyectos.
En términos prácticos, la ruta crítica se interpreta como la dimensión máxima que puede durar el proyecto y las diferencias con las otras rutas que no sean la crítica, se denominan tiempos de holgura.

PERT/ COSTOS

PERT/ COSTOS

La técnica fue desarrollada como una extensión de la pert / tiempo con los datos de costo en esta técnica incluye tanto el costo como el tiempo de manera que se puede calcular los intercambios entre ambas , requiere de una gran coordinación de las actividades de ingeniería ,calculo, control y contabilidad.

IC=CC-NC
NT-CT

VENTAJAS DEL PERT

Las ventajas de la técnica de PERT específica la forma en que se ha de hacer la planeación. Permite a la gerencia prever rápidamente el efecto de las desviaciones respecto al plan.

La ventaja más importante es que permite lograr un objetivo o a terminar un proyecto con el gasto mínimo de tiempo y costo

LAS ECUACIONES SON

1te=a+4(m)+b 6

2- S= TL-TE
Pert / costos

3 IC=CC-NC
NT-CT

4-σ =b- a
6
5- σE=̙̙√Σ σ12 + σ22……………..

6- AE- TE
σE

PERT

PERT



Program evaluation reviw tecnology o técnica de revisión y evaluación de programas.

Nació en 1956 durante las primeras etapas del programa de desarrollo del proyectil submarino Polaris de la marina de estados unidos, todos los métodos convencionales de dirección eran desesperadamente inadecuados para marchar al ritmo que el programa señalaba.

El Sr. Willard Fazar de la oficina de proyectos especiales y con ayuda de la división de proyectiles y asuntos especiales idearon la técnica PET como un diagrama de flujo del tipo de red con incertidumbre incorporada. En lugar de asignar un solo tiempo aproximado a cada actividad como se hace normalmente en el método de la ruta crítica, Fazar utilizo tres aproximaciones:

-la optima
-la normal
-la pesimista

Dicha aproximación dificulto un poco los cálculos, pero la computadora de alta velocidad, tenía capacidad más que suficiente para esto.

REQUISITOS PARA TRANSFORMAR UNA GRAFICA GANTT EN UN RED PERT

La grafica e metas intermedias de Gantt antecesora de la técnica PERT es la grafica que representa el trabajo por realizar. Tiene una escala de tiempo en su parte interior que representa las tareas o actividades especificas tocantes al proyecto total. La grafica de Gantt muestra las relaciones que existen entre las metas intermedias dentro de la misma actividad, pero no las relaciones entre las metas parciales que hay en las diferentes tareas.

La modificación de la grafica de metas intermedias de Gantt para mostrar la interrelaciones entre todas están en u proyecto se lograr en tres pasos.

1- Es la eliminación de los rectángulos estos son remplazados por flechas que unen las metas intermedias

2- Consiste en sumar las relaciones que existen entre las metas intermedias de las diversas actividades (hay metas que deben preceder de otras es decir que el 5 no puede iniciar antes que 1y 3 se haya acabado es decir tener un orden )

3- Se elimina el termino tarea, en vista de que todas las relaciones, sea cualquiera la tarea a la que se refiere, se representan con flechas. Se elimina la escala horizontal de tiempo de la grafica de Gantt y se remplaza con el tiempo individual de cada una de las flechas





CONSTRUCCION DE LA RED PERT

PASO 1

1- Construcción de la red PET, se trata de desarrollar una secuencia lógica de las actividades a realizar para llevar a cabo el proyecto.

a) el termino actividad se define como una etapa del trabajo del proyecto total y se representa con una flecha.

b) El extremo de la flecha representa el inicio de la actividad y su punta la terminación.

c) La longitud, forma o posición carece de importancia

d) Lo importante es la manera en que las actividades representadas con flechas, se relaciona entre sí siguiendo una secuencia en cuanto al tiempo.

Al construir el diagrama el que planea tiene que tomar en cuantas todas las actividades que se van a realizar es recomendable hacer una lista, si esta es muy compleja se toman las más importantes, al hacer el diagrama con flechas saldrán las actividades adicionales, es necesario por ultimo trazar el diagrama con las flechas para mostrar la forma en la que la actividades se relacionan en cuanto al tiempo.

a) Los números encerrados en círculos se les llama nodos o eventos, los eventos son los puntos del tiempo contrastando con las actividades que tienen cierta duración
b) Los eventos se numeran en serien desde la iniciación hasta la terminación del proyecto

La red PERT muestra relaciones simples de secuencia respecto al tiempo. En algunos casos se necesita n de flechas que no representan nada y solo se insertan para u el modelo sea más claro a estas se les llama flechas ficticias y se representan con flechas punteadas.




PASO 2


Calculo del tiempo esperado, signar tiempos a las actividades individuales es esencial para complementar una red PERT


Debe de estar claro que el tiempo más probable(m) debe llevar un peso mayor que el más optimista(a) y el del pesimista (b), la formula de aproximación desarrollado para las actividad te es :

te=a+4(m)+b 6


Cuando se ocupa esta fórmula a una curva acampanada normal el valor de te representa el valor del centro de la cuerva

Ejemplo

a=4
b=15
m=6
te= 4+4(6)+15/6

te= 7.16 semanas



En el segundo ejemplo la curva es asimétrica

a=4
b=15
m=12
te= 4+4(12)+15/6

te=11.16 semanas


PASO 3

Determinación del tiempo más próximo y mas tardío debe haber más información acerca del evento para determinar el tiempo del evento, se necesita saber la fecha esperada más próxima en que se puede iniciar la actividad.

TIEMPO MAS PROXIMO (TE)
Es la suma de los tiempos esperados, comenzando por el primer evento avanzando de izquierda a derecha, sin embargo cuando hay más actividades se toma el tiempo máximo. (se ilustra en los cuadrados)

TIEMPO MAS TARDIO (TL)

Es la flecha más lejana en la que se puede y terminar cada actividad permitiendo aun que el proyecto total se concluya a tiempo. Se resta los tiempos esperados comenzando por el ultimo evento y avanzando de derecha a izquierda, sin embrago cuando se tiene más actividades se toma el tiempo mínimo (se ilustra en los círculos)

PASO 4

Determinación de la ruta o ruta critica

Tras determinar el tiempo más próximo esperado y el tiempo más tradio admisible ahora se le puede trazar en una solo red.


PASO 5

CALCULO DEHOLGURA
HOLGURA TOTAL(S) .es el tiempo que puede retrasarse una actividad desde su iniciación, sin afectar el tiempo de terminación de proyecto.

HOLGURA LIBRE. Es el tiempo que pude retrasarse una actividad desde su inicio sin afectar el inicio de las demás actividades subsecuentes.

La formula de holgura S expresa la diferencia entre el tiempo más tardío y el tiempo más próximo

S= TL-TE


PASO 6

EVALUAR LA RED PERT

Deben de avaluarse los efectos de estas actividades en la ruta inicial con los tiempos asignados, i los tiempos no son satisfactorios se dispone de varios métodos, como el intercambio de trabajadores, maquinas o método de ajuste

MODELO DE INVENTARIOS

• MODELO DE INVENTARIOS
  
  Variables que se usan Q numero de piezas por orden
  Q *= numero optimo de piezas por orden
  en los inventarios EOQ D= demanda anual en piezas para laproduccion del inventario
  S= costo de preparación de la orden
  H= costo de manejo de inventario + unidad
  N= numero esperado de ordenes
  T= tiempo esperado de la orden
  CT= costo total
  
  
  Cp= D (S)
  Q
  
  Ct= D S + Q H
  Q 2
  
  T = No de dias laborados
  N
  
  N= D/Q*
  Q*= (2DS)
  H
  
  Punto de reorden
  
  GANTT
  
  Forma de grafica una serie de actividades
  1- Capacitación
  2- Producción
  3- Control de calidad
  4- Almacen
  5- 3mbalaje
  6- Distribución y envio
  
  
  
  
  Te= a+4m+b
  6
  
  3+4*5.5+11/6 = 6 semanas
  
  La variabilidad esta dada por la funcion
  σ 2(tb-ta)2/6
  1.33
  2.66
  3 1.33
  4 .5
  5 .33
  6. .66
  7 .33
  8. 1
  7
  3
  29. 0
  
• 
  3.86 variacion total en semanas
  1.96 desviacion total
  Z= x-µ 32-30/197 0 1.01 buscar en la tabla de z
  σ .500+.3438 prob .8438 84.38%
  30+1.96(1.97)= x
  X= 196(1.97)+30= 33.86

METODO DE ASIGNACION ( HUNGARO )

Un problema de asignación es un problema de transporte balanceado, en el cual todas las ofertas y todas las demandas son iguales a uno. Se puede resolver eficientemente un problema de asignación m x m mediante el método Húngaro:

Paso 1.- Empiece por encontrar el elemento mas pequeño en cada renglón de la matriz de costos. Construya una nueva matriz, al restar de cada costo, el costo mínimo de su renglón. Encuentre, para esta nueva matriz el costo mínimo en cada columna. Construya una nueva matriz ( la matriz de costos reducidos ) al restar de cada costo el costo mínimo de su columna.

Paso 2.- Dibuje el mínimo numero de líneas (horizontales o verticales ) que se necesitan para cubrir todos los ceros en la matriz de costos reducidos. Si se requieren m líneas para cubrir todos los ceros, siga con el paso 3.

Paso 3.- Encuentre el menor elemento no cero (llame su valor k en la matriz de costos reducidos, que no esta cubiertos por las líneas dibujadas en el paso 2. Ahora reste k de cada elemento no cubierto de la matriz de costos reducidos y sume k a cada elemento de la matriz de costos reducidos cubierto por dos líneas. Regrese al paso 2.

Un problema de asignación es un problema de transporte balanceado en el que todas las ofertas y demandas son iguales a 1; así se caracteriza por el conocimiento del costo de asignación de cada punto de oferta a cada punto de demanda. La matriz de costos del problema de asignación se llama: matriz de costos.

Como todas las ofertas y demandas para el problema de asignación son números enteros, todas las variables en la solución óptima deben ser valores enteros.

EJEMPLOS DE PROBLEMAS DE ASIGNACION

1. Una empresa ha contratado a 4 individuos para 4 trabajos, los 4 individuos y 4 trabajos pueden mostrarse en una tabla que indique las clasificaciones obtenidas, analizando al individuo para cada trabajo. Los renglones se refieren a los hombres, mientras que las columnas se refieren a los trabajos; el problema consiste en maximizar las calificaciones para asignar los 4 trabajos.
Se supone que las calificaciones de un individuo es directamente proporcional a la ganancia que obtendría la compañía si ese individuo se encargara del trabajo.

2. Otro problema que utiliza la misma estructura del modelo de transporte, es la asignación de camiones para reducir al mínimo los costos de un problema de asignación.

3. Una empresa cubre el territorio nacional con dos camiones especialmente equipados para funcionar en condiciones climatológicas específicas. La empresa ha dividido en cinco regiones geográficas. Se compra el camión A y se modifica para que funcione eficientemente en las regiones uno y dos, y para que funcione bastante bien en las regiones tres y cuatro. El mismo camión no funciona bien en la región cinco. Los gastos de gasolina, mantenimiento y otros costos directos de operación, serían mínimos en las regiones uno y dos, promedio en las regiones tres y cuatro, y altos en la región cinco. Se tiene esa misma información con respecto a los demás camiones de la compañía, o sea, los tipos B, C y D.

METODO DE APROXIMACION DE VOGEL ( VAM )

Este metodo es heuristico y suele producir una mejor solucion inicial que los dos metodos antes descritos. De hecho, VAM suele producir una solucion inicial optima, o proxima al nivel optimo.
Los pasos del procedimiento son los siguientes:

Paso1: Evaluese una penalizacion para cada renglon restando el menor elemento del costo del renglon del elemento de costo menor siguiente en el mismo renglon.

Paso2: Identifiqueze el renglon o columna con la mayor penalizacion, rompiendo empates en forma arbitraria. Asignese el valor mayor posible a la variable con el costo mas bajo del renglon o columna seleccionado. Ajustese la oferta y la demanda y tachese el renglon o columna satisfecho. Si un renglon o columna se satisfacen al mismo tiempo, solo uno de ellos se tacha y al renglon restante se le asigna una oferta cero.Cualquier renglon o columna con oferta o demanda cero no debe utilizarce para calcular penalizaciones futuras.

Paso 3:
a.-si solo hay un renglon o columna sin tachar, detengase.
b.-si solo hay un renglon conoferta positiva sin tachar, determinense las variables basicas del renglon a travez del metodo del costo minimo.
c.-si todos los renglones y columnas sin tachar tienen oferta o demanda cero asignadas, determinese las variables basicas cero a travez del metodo del costo minimo. Detengase.
d.-de lo contrario, calculense las penalizaciones de las renglones y columnas no tachados y despues dirijase al paso 2.

PR = Penalización de Renglón
PC = Penalización de Columna

MODELO DEL COSTO MINIMO

Asignese el mas grande valor posible a la variable con el menor costo unitario de toda la tabla. Tachese el renglon o columna satisfecho.Despues de ajustar la oferta y la demanda de todos los renglones y columnas no tachados, repitase el proceso asignando el valor mas grande posible a la variable con el costo unitario no tachado mas pequeño. El procedimiento esta completo cuando queda exactamente un rebglon o bien una columna sin tachar.

METODO DE MULTIPLICADORES

EXPLICACION DEL METODO DE MULPIPLICADORES CON UN METODO SIMPLEX

La relecion que existe entre el metodo multiplicadores y el metodo simplex se puede establecer demostrando que cpq según se define, es igual directamente a los coeficientes de la funcion objetivo de la tabla simplex asociada con la iteracion actual.

Para mostrar como se obtiene el problema dual para el metodo de transporte, considerese primero el caso especial de ,=2 y n=3 que se indica en la tabla 6-15. Sean las variables duales u1 y u2 para las restricciones de las fuentes y v1,v2, y v3 para las restricciones de los destinos. El problema dual se convierte en:

Maximizar w = (a1u1+a2u2) + (b1v1+b2v2+b3v3)

Sujeto a:

U1 +v1 <= c11
U1 +v2 <=c12
U1 +v3 <=c13
U2+v1 <=c21
U2+v1 <=c22
U2 +v3 <=c23
Ui, U2, v1, v2, v3, irrestrictas

El problema dual correspondiente esta dado por:

Maximizar w = åm i-1 a1 u1 + ån bi vj

sujeto a:

ui + vj <=cij para todas las i y j
ui y vj irrestrictas

La evaluacion de las variables no basicas se determinan mediante la sustitucion de los valores actuales de las variables duales en las restricciones duales y despues tomando la diferencia entre sus miembros primero y segundo. Los valores de las variables duales se pueden determinar observando que las restricciones deuales correspondientes a una variable basica se deben satisfacer como ecuaciones escritas.
En realidad en la iteracion optima los multiplicadores producen los valores duales optimos directamente.

En lo antes expuesto se asigna un valor arbitrario a una de las variables duales que indica que los multiplicadores simplex asociados con una solucion basica dada no son unicos. Esto puede parecer inconsistente con los resultados donde los multiplicadores deben ser unicos.

METODO DE LA "M"

Este método empieza con la PL en la forma estándar Para cualquier ecuación i que no tiene una holgura, aumentamos una variable artificial R. Entonces esta variable se convierte en parte de la solución básica inicial. Debido a que es una variable artificial al modelo de PL se le asigna una penalidad en la función objetivo, para obligarlas aun nivel cero en una iteración del algoritmo SIMPLEX

Debido a que M es un valor positivo suficientemente grande, la variable R1 se penaliza en la función objetivo utilizando —MR, en el caso de la maximización, y +RM, en la minimización. Debido a esta penalidad El proceso de optimización lógicamente tratara de impulsar R1, al nivel cero
Minimice Z= 4X1 + X2

La forma estándar se obtiene restando un superávit X3 en la segunda restricción y añadiendo una holgura X en la tercera restricción. Por tanto obtenemos

Minimice Z= 4X1 +X2

La primera y segunda ecuación no tiene variables que desempeñen el papel de holguras. Por consiguiente, utilizamos las variables R1 y R2 en estas dos ecuaciones y las penalizamos en la función objetivo con MR1 + MR2. La PL resultante se da como
Minimice Z=4X1 +X2 + MR1 + MR2

En el modelo modificado, ahora podemos utilizar R1, R2 y X4 como la solución básica factible inicial como lo demuestra la siguiente tabla simplex

Antes de proceder con los cálculos del método simplex, necesitamos hacer que el renglón -Z sea consistente con el resto de la tabla simplex. De manera específica, el valor de z asociado con la solución básica inicial R1 = 5, R2 6, y X4 = 4 debe ser 3M + 6M + O = 9M en vez de O, como se muestra en el lado derecho del renglón -Z. Esta inconsistencia se debe al hecho de que R, y R2 tienen coeficientes no cero (-M, -M) en e! renglón -Z Estas inconsistencias se eliminan sustituyendo R1 y R2 en el renglón -Z, utilizando las ecuaciones apropiadas de restricción.

En particular, observe los elementos “1” realzados en el renglón -R1 y en el renglón -R2. Multiplicando cada uno de los renglones –R1 y de los renglones -R2 por M y añadiendo la suma al renglón -Z, efectivamente se sustituirá a R1 y R2 en el renglón objetivo. Podemos resumir este paso como

Nuevo renglón Z= Antiguo renglón Z + M x (Renglón R1) + M x (Renglón R2)
Esto se aplica como

Por lo tanto la nueva tabla simplex se convierte en

METODO DUAL

Como sabemos, el método simplex es un algoritmo iterativo que iniciando en una solución básica factible pero no óptima, genera soluciones básicas factibles cada vez mejores hasta encontrar la solución óptima la base de su lógica es mantener la factibilidad, mientras busca la optimalizad.
Pero surge la posibilidad de usar otro esquema igualmente iterativo, que como contraparte del simplex, comienza en una solución básica óptima, pero no factible y mantiene la inmejorabilidad mientras busca la factibilidad. Con este procedimiento se llega igualmente a la recurso óptima.

Primero se debe expresar el modelo en formato estándar, agregando las variables de holgura y de exceso que se requieran.
Enseguida, en las ecuaciones que tengan variables de exceso (resultantes de restricciones de tipo >), se debe multiplicar por (-1) en ambos lados, para hacer positivo el coeficiente de la variable de exceso, y formar así un vector unitario que nos permita tomar esta variable de exceso como una variable básica inicial.
Sin necesidad de agregar una variable artificial en esa restricción.

Como se muestra en el siguiente ejemplo:


Considerando el sig. Problema calcular su modelo

(DUAL) MINIMIZAR

P=4Z1+6Z2+18Z3+10Z4
Z1+3Z3+Z4≥3
Z2+2Z3+4Z4≥5
Z1, Z2, Z3, Z4 ≥0
Sea Max Z=3X+5Y

RESTRICCIONES X ≤ 4
Y ≤ 6
3X+2Y≤18
X+4Y≤10
DONDE X, Y≥0

PONEMOS LOS COEFICIENTES DISPONIBILIDAD EN FOMA DE VECTOR COLUMNA (MATRIZ), PRIMAL.

Considerando el sig. Problema calcular su modelo


MAX: Z= 3X1+8X2+2X3-4X4

RESTRICCIONES:

X1 + X2 + 2X3 +3X4≤5
X1 – X2 =-1
X3 + X4≥46

DONDE: X1,X2,X3,X4≥0

POR LO TANTO (DUAL) MIN G = 5Y1 – Y2 + 46Y3
LAS RESTRICCIONES QUEDAN:


Y1 + Y2 ≥3
Y1 – Y2 ≥8
2Y1 + Y3 ≥2
3Y1 - Y3 ≥-4

DONDE: Y1,Y2,Y3 ≥ 0

METODO DE LAS 2 FASES

La desventaja de la técnica de la gran M es el posible error de computo que podría resultar de asignar un valor muy grande a la constante M. Esta situación podría presentar errores de redondeo en las operaciones de la computadora digital. Para evitar esta dificultad el problema se puede resolver en 2 fases


FASE 1 Formula un nuevo problema reemplazando la función objetivo por la suma de las variables artificiales .

La nueva función objetivo se minimiza sujeta a las restricciones del problema original. Si el problema tiene un espacio factible el valor MINIMO de la F:O optima será cero , lo cual indica que todas las variables artificiales son cero. En este momento se hace la fase 2

Si el valor mínimo de la fo optima es mayor que cero el problema no tiene solución y termina anotándose que no existe función factible.


FASE
Utilice la solución optima de la fase1como solución de inicio para el problema original. En este caso la fo original se expresa en términos de las variables no básicas utilizando las eliminaciones de gauss-jordán

Problema



Maximizar Z= 6x1 +6x2+4x3

Sujeto a : 3x1+6x2+x3<20 2x3="15">0



fase 1 siempre es un problema de minimización


min Z=r1

sujeto a

3x1+6x2+x3<20 2x3="15">0

FASE 2

MIN Z=6X1+4X2+4X3+0S1

Z –6X1-4X2-4X3-0S1=0

METODO SIMPLEX POR MINIMIZACION

Método SIMPLEX por minimización

Minimizar Z= 3m + 4n - 8ñ

3m – 4n ≤ 12
M + 2n + ñ ≥ 4
4m – 2n +5ñ ≤ 20

M ≥ 0, n ≥ 0, ñ ≥ 0

Como es un problema de minimización recordemos que tenemos que maximizar la función objetivo quedando así

-3m – 4n + 8ñ + Z = 0

Las inecuaciones las hacemos igualdades

3m – 4n = 12
m + 2n + ñ = 4
4m – 2n +5ñ = 20

Ahora tenemos que hacer nuestra tabla 1 y aplicaremos el mismo procedimiento del método SIMPLEX para maximizarlo.

Ahora de la tabla tomaremos el MAYOR POSITIVO en este caso es el 8 y ya encontramos nuestra columna pivote.

Posteriormente dividimos 28/5 = 4 4/1 = 4 12/0 = 0, y tenemos que tomar el numero menor de estas divisiones en este caso tenemos dos, cuatros podemos tomar cualquiera

Y ya encontramos nuestro pivote operacional en este caso es 1, ahora tenemos que dividir toda esa fila entre este 1 para poder resolver la siguiente tabla

Ahora la ñ ya paso a la base

El problema se termina aquí porque ya nos quedaron puros negativos y ceros en nuestra PO que era nuestro objetivo

3m – 4n ≤ 12
3(0) – 4 (0) ≤ 12
0 ≤ 12 Si cumple

m + 2n + ñ ≥ 4
0 + 2(0) + ¼ ≥ 4
¼ ≥ 4 No cumple

4m – 2n + 5ñ ≤ 20
4 (0) – 2 (0) + 5 (1/4) ≤ 20
1.25 ≤= 20 Si cumple

3m + 4n – 8ñ
Z = 3 (0) + 4(0) – 8 (1/4)
Z = 2

Método simplez para problemas de minimización

Min Z = 2x + 3y Función objetivo

Sujeto a 2x + y ≥ 4
X – y ≤ 1 Restricciones

Condiciòn de no negatividad x, y ≥ 0

1. Convertir el problema en un problema de maximización haciéndolo negativo la función objetivo, esto se hace multiplicando por -1

Min Z= 2x + 3y (-1) Max –Z= -2x – 3Y

2. Convertir las inecuaciones (restricciones) en ecuaciones
2x + y ≥ 4 2x + y = 4
x – y ≤ 1 x – y = 1

2 Elaborar la tabla inicial SIMPLEX

Observamos que nuestra FO tenemos en las variables de decisión valores negativos, lo cual produce que nuestro problema no tenga solución, ya que para resolver SIMPLEX por minimización es necesario tomar el valor positivo mayor y en esta tabla no se encuentra numero alguno

Ya no tiene solución

ESQUINA NOROESTE

4 AGENCIAS ORDENAN AUTOS NUEVOS QUE DEBEN LLEGAR DESDE 3 PLAZAS, LA AGENCIA A NECESITA 6 AUTOS, LA AGENCIA B REQUIERE DE 5 LA AGENCIA C 4 Y LA D REQUIERE 4

LA PLANTA 1TIENE 7 AUTOS EN STOCK, LA PLANTA 2 TIENE 13 Y LA PLANTA 3 TIENE 3 . EL COSO DE ENVIARA UN AUTO DE LA PLANTA A LA AGENCIA SE PUEDE VER EN LA TABLA .

MODELO DE ASIGNACION


Es una forma de representar a un modelo de transporte o una forma de asignar los recuersos a las diferentes actividades ,estamos hablando de una matriz cuadrada es decir A UNA ACTIVIDAS CORRESPONDE UN RECUERSO

MINIMIZAR METODO HÚNGARO


REVISAR QUE TODAS LAS CASILLAS TENGAN SU COSTO Y BENEFICIO


1- BALANCEAR EL MODELO (filas columnas)

2- PARA TODO RENGLÓN ESCOGEMOS EL MENOR VALOR Y RESTARLOS A TODOS LOS DEMAS EN EL MISMO RENGLÓN.

3- PARA CADA COLUMNA ESCOGEMOS EL MENOR VALOR Y RESTARLOS DE TODOS LOS DEMAS EN LA MISMA COLUMNA


4- TACLAR EL MINIMO NUMERO DE LINEAS VERTICALES Y HORIZONTALES DE FORMA QUE TODOS LOS CEROS QUEDAN
TACHADOS

5- USAR EL CRITERIO DE OPTIMIZACION

6- SELECCIONAR EL MENOR VALOR NO TACHADO DE TODA LA MATRIZ

El valor restarlo de todo elemento no tachado y sumarlo a los elementos en la interaccion de 2 lineas

7- HACER LOS PASOS EN FORMA SUCESIVA BUSCANDO TACHAR TODOS LOS CEROS , REGRESAR AL PASO 4 HASTA QUE CADA RENGLÓN Y CADA COLUMNA TENGAN UNA SOLA ASIGNACIÓN
CASO PARA MAXIMIZAR

Seleccionamos el mayor elemento de toda la matriz , este valor restarlo de todos los elementos , los valores negativos representan los costos de oportunidad , lo que indica que se deja de ganar o producir .

EJEMPLO


NECESITAMOS PROCESAR 4 TAREAS PARA LA CUAL CINTAMOS CON 4 MAQUINAS.

EL DESPERDICIO QUE PRODUCIMOS DE LAS TAREAS POR MAQUINA DADA UNA MATRIZ EXPRESEMOS ESTO EN PESOS Y NECESITAMOS DEFINIR LA ASIGNACIÓN OPTIMA.

COMO SE TRATA DE DESPERDICIOS SE TRATA DE MINIMIZARLOS
Primero vemos que todas las casillas tengan un costo
Observamos que

M: renglones
N : columnas

Es igual a 4

Elegimos el menor valor del renglón y restarlo a los demas en este caso es 49 45 46 38

EN ESTA TABLA SOLO TENEMOS 3 LINEAS PARCIALES POR LO QUE TODAVIA NO HAYAMOS LO OPTIMO POR LO QUE TENEMOS QUE HACER OTRA TABLA

LOS VALORES MAS PEQUEÑOS DE LAS 3 FILAS ES 12 LO RESTAMOS A LOS DEMAS RESPETANDO LOS VALORES QUE ESTAN EN LA INTERSECCIÓN

PODEMOS OBSERVAR QUE LAS LINEAS INDICAN QUE 3= 4 NO ES OPTIMO SEGUIMOS BUSCANDO ASIGNAR RECURSOS A LAS ACT.

AHORA EL MENOR NUMERO ES 3 Y SE LO RESTAMOS A LOS DEMAS RESPETANDO LOS ASIGNADOS O INTERSECTADOS

OBSERVAMOS QUE M=N 4=4 ES LO OPTIMO PERO DEBEMOS CHECAR QUE LAS ASIGNACIONES SEAN 1A 1

LOS 0 SE PUEDEN ESCOGER PERO LOS 0 SE PUEDEN DESHABILITAR

INTERPRETACIÓN

REALIZAR LA TAREA A EN LA MAQUINA 3 CON UN COSTO DE 54
REALIZAR LA TAREA B EN LA MAQUINA 3 CON UN COSTO DE 81 $ 219
REALIZAR LA TAREA C EN LA MAQUINA 3 CON UN COSTO DE 46
REALIZAR LA TAREA D EN LA MAQUINA 3 CON UN COSTO DE 38


EL COSTO TOTAL MINIMO SERA DE 219 POR LA ASIGNACIÓN DE LAS TAREAS EN LA MAQUINA DE LA FORMA MAS OPTIMA.

PROBLEMAS DE TRANSPORTE

PROBLEMAS DE TRANSPORTE



PROBLEMA 1

Tres plantas de producción P1, P2 y P3 con capacidades de 100000, 100000, y 150000, respectivamente, tienen que abastecer cuatro ciudades C1 ,C2, C3 y C4, que demandan 50000, 70000, 60000 y 80000 unidades, respectivamente. Los costes de producción por unidad de cada planta son de 1 u. m., y los costes asociados al transporte por unidad se reflejan en la siguiente tabla:

Desarrollar un programa lineal que permita determinar el número de unidades que deberá producir cada planta y cuál será el plan de transporte que minimice los costes totales de la operación.

MODELO DE TRANSPORTE

MODELO DE TRANSPORTE

Este modelo trata, básicamente, de encontrar las mejores formas o rutas para el traslado de las mercancías, desde “n” orígenes hasta “m” destinos, para sus diferentes de almacenamiento, buscando la forma de minimizar los costos de transporte.

CONDICIONES:

1.-Tanto la función objetivo como las restricciones deben ser lineales
2.-Las mercancías a distribuir deben ser uniformes, así como los coeficientes de las variables en las restricciones deben ser 0 o 1.
3.-La suma de la capacidad de todos los orígenes debe ser igual a la suma de la capacidad de los destinos. En otras palabras, la demanda total tiene que ser igual a la oferta total.

m: Es el centro de la oferta
n: Es el centro de demanda
( i ): Renglón por cada origen
( j ): Cada destino una columna
Ai: No. De unidades disponibles en cada centro de oferta
bi: No. Requerido de unidades de mercancía en el centro de demanda
Cij: Costo unitario de transporte en la ruta de un centro de oferta a un centro de demanda.
Xij: Cantidad transportada del centro de oferta al centro de demanda.

CASO PRÁCTICO
Supongamos que a una empresa trasnacional que tiene 3 plantas W, X, e Y, y estas surten de un producto a 7 almacenes: A,B,C,D,E,F,G que forman parte del grupo empresarial, debemos considerar lo relacionado al costo de transporte desde cada planta a cada almacen. También, sabemos que cada almacén tiene ciertos requerimientos de ventas, mismas que dependen de la capacidad de cada planta.
Veamos en la siguiente tabla las capacidades de producción mensuales, los requerimientos de ventas por mes y los costos de transporte de cada planta hacia cada almacén.
Queremos determinar la ruta de distribución menos costosa y el costo total mínimo.

MINIMIZACION

MINIMIZACION
Una manera directa de minimización Z con el método simplex es cambiar los roles de los coeficientes negativos y positivos en el renglón 0, tanto para la prueba de optimalidad como para la parte 1 del paso iterativo. Sin embargo, en lugar de cambiar las instrucciones del método simplex se presentara una manera sencilla de convertir cualquier problema de minimización en un problema equivalente de maximización

Si para maximizar utilizamos
Z=∑ Cj Xj

Para la minimización utilizamos la misma pero con signo negativo
-Z=∑ Cj Xj

METODO SIMPLEX

METODO SIMPLEX
El método Simplex es un procedimiento iterativo que permite ir mejorando la solución a cada paso. El proceso concluye cuando no es posible seguir mejorando más dicha solución.
El método simplex empieza con una solución factible y prueba si es o no optima. Si no lo es, por este método se procede a obtener una solución mejor. Decimos “mejor” en el que la nueva solución este más cerca de la optimización de la función objetivo.
El método simplex tiene otras ventajas. Es completamente mecánico (usamos matrices, operaciones elementales sobre renglón y aritmética básica).
Partiendo del valor de la función objetivo en un vértice cualquiera, el método consiste en buscar sucesivamente otro vértice que mejore al anterior.

METODO GRAFICO

EJEMPLO

Un fabricante de cero produce 2 tipos de este material del grado 1 y del grado 2 del tipo 1 se requieren 2 hr fundición 4hr de laminado y 10 hr de corte. Del tipo 2 se necesitan 5hr de fundición 1hr de laminado y 5 corte

Se dispone de 40 hr de fudicion 2 hr de laminado y 60 hr de corte con un margen de beneficio para el tipo 1 $24 y del tipo 2 $ 8

METODO GRAFICO

Cada una de las ecuaciones que forman un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es la de una función de primer grado, es decir, una recta. El método gráfico para resolver este tipo de sistemas consiste, por tanto, en representar en unos ejes cartesianos, o sistema de coordenadas, ambas rectas y comprobar si se cortan y, si es así, dónde. Esta última afirmación contiene la filosofía del proceso de discusión de un sistema por el método gráfico. Hay que tener en cuenta, que, en el plano, dos rectas sólo pueden tener tres posiciones relativas (entre sí): se cortan en un punto, son paralelas o son coincidentes (la misma recta). Si las dos rectas se cortan en un punto, las coordenadas de éste son el par (x, y) que conforman la única solución del sistema, ya que son los únicos valores de ambas incógnitas que satisfacen las dos ecuaciones del sistema, por lo tanto, el mismo es compatible determinado. Si las dos rectas son paralelas, no tienen ningún punto en común, por lo que no hay ningún par de números que representen a un punto que esté en ambas rectas, es decir, que satisfaga las dos ecuaciones del sistema a la vez, por lo que éste será incompatible, o sea sin solución. Por último, si ambas rectas son coincidentes, hay infinitos puntos que pertenecen a ambas, lo cual nos indica que hay infinitas soluciones del sistema (todos los puntos de las rectas), luego éste será compatible indeterminado.
El PROCEDIMIENTO
1-Se despeja la incógnita y en ambas ecuaciones.
2-Se construye, para cada una de las dos funciones de primer grado obtenidas, la tabla de valores correspondientes.
3-Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados.
4-En este último paso hay tres posibilidades:
Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los únicos valores de las incógnitas x e y. Sistema compatible determinado.
Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que son las respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que coinciden ambas. Sistema compatible indeterminado.
Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución. Sistema incompatible

BREVE RESUMEN HISTORICO DE INVESTIGACION

Los inicios de lo que hoy se conoce como Investigación de Operaciones se remontan a los años 1759 cuando el economista Quesnay empieza a utilizar modelos primitivos de programación matemática. Más tarde, otro economista de nombre Walras, hace uso, en 1874, de técnicas similares. Los modelos lineales de la Investigacion de Operaciones, tienen como precursores a Jordan en 1873, Minkowsky en 1896 y a Farkas en 1903. Los modelos dinámicos probabilísticos tienen su origen con Markov a fines del siglo pasado.
Hay que hacer notar que los modelos matemáticos de la Investigación de Operaciones que utilizaron estos precursores, estaban basados en el Cálculo Diferencial e Integral ( Newton, Lagrange, Laplace, Lebesgue, Leibnitz, Reimman, por mencionar algunos), la probabilidad y la Estadística ( Bernoulli, Poisson, Gauss, Bayes, Gosset, etc.)
No fue sino hasta la Segunda Guerra Mundial, cuando la Investigación de Operaciones empezó a tomar auge. Primero se le utilizo en la logística estratégica para vencer al enemigo (Teoría de Juegos) y más tarde al finalizar la guerra, en la logística de distribución de todos los recursos militares de los aliados dispersos por todo el mundo.

Fue el Doctor George Dantzing, el que en 1947, resumiendo el trabajo de muchos de sus precursores, inventara el método Simplex, con lo cual dio inicio a la Programación lineal.
Actualmente la investigación de operaciones no solo se aplica en el sector privado
( industrias, sistemas de comercialización, sistemas financieros, transportes, sistemas de salud) sino también en el sector de los servicios públicos, tanto en los países desarrollados como los países del tercer mundo, Presisamente en Mexico, la Investigacio de Operaciones se utiliza dentro del sector de servicios públicos, entre otros en la Compañía Nacional de Subsistencias Populares ( CONASUPO ) .

¿QUE ES LA INVESTIGACION DE OPERACIONES?

¿QUE ES LA INVESTIGACION DE OPERACIONES?

Se han dado muchas definiciones de lo que es Investigación de Operaciones o Investigación Operacional, como puede llamársele en los países europeos. Todas estas definiciones han dado origen a numerosas polémicas, discusiones y aun confusiones, como son:
a) La Investigación de Operaciones es un método científico. Esto es completamente erróneo, porque hace suponer la existencia de muchos métodos científicos, cuando en la realidad solo existe uno.
b) La Toma de Decisiones queda incluida dentro de la investigación de operaciones. Esto también es falso, puesto que la Investigación de Operaciones es una de las tantas herramientas que existen para la Toma de Decisiones.
c) La Teoría de Sistemas se encuentra ubicada dentro de la Investigación de Operaciones. Esto también es falso, porque mientras que la Teoría de Sistemas es un marco conceptual que permite entender, interpretar, operar o diseñar la realidad, la Investigación de Operaciones , es una de las tantas herramientas que permite que un sistema se convierta en otro más eficiente y/o eficaz.
La Investigación de Operaciones es la aplicación, por grupos interdisciplinarios, del método científico a problemas relacionados con el control de las organizaciones o sistemas
(hombre-máquina) a fin de que se produzcan soluciones que mejor sirvan a los objetivos de toda la organización.

Los objetivos de la organización (sistema), se refieren a la eficacia y efectividad con que los diferentes componentes del mismo pueden controlarse y/o modificarse.
La Investigación de Operaciones es un método que permite encontrar las relaciones óptimas que mejor operan un sistema, dado un objetivo específico.

La Investigación de Operaciones es la aplicación de la metodología científica a través de modelos, primero para representar al problema real que se quiere resolver en un sistema y segundo para resolverla.
Los modelos matemáticos de decisión permiten calcular los valores exactos o aproximados de los componentes controlables del sistema para que pueda comportarse mejor, de acuerdo con ciertos criterios establecidos.

INVESTIGACION DE OPERACIONES

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

( I.O.)

La investigación de operaciones significa "hacer investigación sobre las operaciones". Aplicando una coordinación a todo tipo de actividad u operación dentro de cualquier empresa u Organización.
Se pueden enumerar varias áreas donde la Investigación de Operaciones puede ser aplicable, por ejemplo; la manufactura, el transporte, las telecomunicaciones, la planeación financiera, el cuidado de la salud, la milicia ,los servicios públicos, etc.


El proceso de la Investigación de Operaciones ( I.O.) comienza por la observación cuidadosa y la formulación del problema incluyendo la recolección de los datos pertinentes. El siguiente paso es la construcción de un modelo científico (por lo general matemático) que intenta abstraer la esencia del problema real. Después, se llevan a cabo los experimentos adecuados para probar esta hipótesis, modificarla si es necesario y eventualmente verificarla. (Con frecuencia este paso se conoce como validación del modelo.) Entonces, en cierto modo, la investigación e operaciones incluyen la investigación científica y creativa de las propiedades fundamentales de las operaciones. Sin embargo, existe más que esto. En particular, la I.O. se ocupa también de la administración práctica de la organización; esto es, para tener éxito dentro de las organizaciones y áreas mercadológicas (Ventas, Publicidad, Administración, Producción, Logística, Compras, Almacenaje, Finanzas, Ingeniería, etc. ), se deberá también tener la capacidad de tomar decisiones, es decir; poseer las herramientas Matemáticas para formular conclusiones claras que permitan optimizar los recursos y establecer beneficios económicos a las organizaciones mismas.